Função Polinomial ou Polinômio

Polinômio ou função polinomial na variável real x é toda função P: IR→IR (isto é, um x real, através da função polinomial P(x), resulta num P(x) também real), definida por: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +  a_n-2x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x+a₀, para todo x real, sendo nЄIN e a_i números reais, que são os coeficientes do polinômio P(x).

O grau de um polinômio é o valor do maior expoente da variável x.

Ex.:     P(x) = 5x⁴ + 3x³ + 3 possui grau 4 (maior expoente de x).

P(t) = 3t¹⁰ – 3 possui grau 10 (nesse caso, a variável independente é t, e seu maior expoente é 10).

A raiz de um polinômio é todo valor da variável independente (que na maioria das vezes é x) que anule o polinômio.

Ex.: o polinômio P(x) = 3x¹⁰ – 3 possui como raiz o número 1, porque quando x for igual a 1, o polinômio valerá 0, isto é: P(1) = 3.1¹⁰ – 3 = 3-3=0; então, 1 é raiz.

QUESTÃO DA PROVA PARA PROFESSOR DE MATEMÁTICA DO IFAL – 2010

5) Sendo r, s e t as raízes da equação 2x³-4x²+3x+1=0, calcule 1/r² + 1/s² + 1/t².

a) 17

b) 23

c) 13

d) 21

e) 19

SOLUÇÃO:

Numa equação polinomial do tipo ax³+bx²+cx+d=0, sejam r, s e t as suas raízes; as relações de Girard diz que:

r + s + t = -b/a = -(-4)/2 =2

rs + rt + st = c/a = 3/2

rst = -d/a = -1/2

Fazendo (rs + rt + st)², temos:

(rs + rt + st)² = (3/2)² = 9/4 → s²t² + r²t² + r²s² + 2r²st + 2rs²t + 2rst² = 9/4

→ s²t² + r²t² + r²s² + 2rst.(r+s+t) = 9/4 ;  como rst = -1/2 e r+s+t = 2, temos:

→ s²t² + r²t² + r²s² + 2.(-1/2).(2) = 9/4

→ s²t² + r²t² + r²s² – 2 = 9/4 → s²t² + r²t² + r²s² = 17/4

Então:

1/r² + 1/s² + 1/t² = (s²t² + r²t² + r²s²)/r²s²t² = (17/4) / (-1/2)² = (17/4) / (1/4) = 17.

Letra A.

Fonte: autor

JOGO DA MEMÓRIA - MEMORIZANDO SEQUÊNCIAS

Este jogo de memória testa sua memória de curto prazo. Neste jogo, o computador pisca as luzes em uma sequência, e então você vai ter que piscar as luzes na mesma sequência. Se você fizer um movimento errado, você perde o jogo. O número de flashes vai aumentar gradualmente, ou seja, o número de etapas para ser lembrado, e o jogo vai se tornar cada vez mais difícil.

Fonte: http://www.osjogosfree.net/outros/memoria-2-2/

História da matemática - Arquimedes e o valor de pi

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AULA DE PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA

Fonte: autor.

Desafio de lógica: Atravessar o Rio

Eis um quebra-cabeça muito divertido e simples de jogar.

Para jogar, primeiro clique na figura acima, e depois na tela cheia de caracteres chineses pressione o grande círculo azul no lado direito.

Eis as regras:
1. A balsa só pode levar duas pessoas.
2. O pai não pode ficar só com qualquer uma das filhas a menos que a mãe esteja presente
3. A mãe não pode ficar só como qualquer um dos filhos a menos que o pai esteja presente.
4. O criminoso não pode ficar com qualquer membro da família, a menos que o policial esteja presente.
5. Somente adultos (pai, mãe, policial) sabem como usar a balsa.
Clique nos personagens para movê-los para dentro e para fora da balsa.
Clique na bola vermelha de controle para enviar a balsa através do rio.

Para ter idéia dos resultados, compare seu tempo de resolução do problema com a bem humorada tabela abaixo.
- Menos de 4 minutos: Gênio! Descendente de Einstein.
- 5 a 6 minutos: Inteligência excepcional! UAU!
- 7 a 10 minutos: Muito inteligente! Parabéns!
- 11 a 20 minutos: Média. Você é apenas humano, certo?
- 21 a 25 minutos: Levemente lento.
- 26 a 30 minutos: LENTO. Desculpe, apenas continue tentando!
- Mais de 30 minutos: Sem comentários!

Fonte do jogo: http://abandonemicrosoft.net/WebGames/riverIQGame.swf

Representação das Frações

Para alunos de 3º ano, 4º ano em diante (início do estudo das frações). 
(Algumas informações são obtidas no site http://educar.sc.usp.br/matematica/m5p1t4.htm.)

Uma fração é representada por dois números naturais:

   Essa fração se chama: “dois terços”.

Denominador significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com "terços") e "numerador" significa "aquele que dá o número de partes consideradas".

Assim, os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando.

Alguns exemplos:

FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000, etc. :
3/10	três décimos
37/100	trinta e sete centésimos
4/1000	quatro milésimos
71/10000	setenta e um sobre dez mil ou setenta e um décimo milésimo

Agora, vejamos uma questão interessante:

Questão Única - Abaixo, há formas geométricas (retângulos e círculo) dividadas em várias partes. Algumas partes estão coloridas. Represente: a) a fração que representa a quantidade de partes coloridas em relação ao total; b) a fração que representa a quantidade de partes não-coloridas (brancas) em relação ao total; c) perceba que se somarmos os numeradores, o resultado será igual ao denominador. Por quê?

a)

b)

c)

Fonte: autor.

Jogo das Quatro operações

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POTENCIAÇÃO

Seja:

a^{n (expoente)}  (base)

O expoente da potenciação nos diz quantas vezes a base será multiplicada, isto é:
Ex. 1) 3² = 3 . 3 = 9
^{Traduzindo: base 3 elevado ao expoente 2 obtemos a potência 9.
 
Ex. 2) (-2)3} = (-2) . (-2) . (-2) = -8
<sup>Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8.


QUESTÕES RESOLVIDAS


1) Sejam x=3 e y=2. Calcule o valor da expressão x3y + x2 + x2y3 + xy2.</sup>
2) Para a expressão acima, calcule quando x=2 e y=3.


Solução 1 - substituição direta:


<sup>1) Lembrando que x vale 3 e y vale 2, temos:
x3y à 33.2 = 27.2 = 54
x2 à 32 =  9
x2y3 à 32.23 = 9.8 = 72
xy2 à 3.22 = 3.4 = 12
Resultado: 54 + 9 + 72 + 12 = 147


2) Lembrando que x vale 2 e y vale 3, temos:
x3y à 23.3 = 8.3 = 24
x2 à 22 =  4
x2y3 à 22.33 = 4.27 = 108
xy2 à 2.32 = 2.9 = 18
Resultado: 24 + 4 + 108 + 18 = 154</sup>


Solução 2 - Fatoração e Produtos notáveis (para 8º ano em diante):
1 - Dividamos em duas partes: a) x³y + x² = x.x².y + x² = x².(xy+1)         [colocando o termo x² em evidência]
b) x²y³ + xy² = x.x.y².y +  x.y² = x.y².(xy+1)                  [colocando o termo x.y² em evidência]
2 - Temos, então: x³y + x² + x²y³ + xy^{2 =} x².(xy+1) + x.y².(xy+1) = (xy+1).(x²+x.y²)     [colocando o termo x.y² em evidência]
3 - Do termo x²+x.y² ainda se pode colocar x em evidência: x²+x.y² = x.(x+y²)
4 - Então, finalmente, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x².(xy+1) + x.y².(xy+1) = (xy+1).(x²+x.y²) = x.(x+y²).(xy+1)
Na questão 1, x=3 e y=2, então, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x.(x+y²).(xy+1) = 3.(3+2²).(3.2+1)=3.(3+4).(6+1) = 3.7.7 = 147
Na questão 2, x=2 e y=3, então, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x.(x+y²).(xy+1) = 2.(2+3²).(2.3+1)=2.(2+9).(6+1) = 2.11.7 = 154


___________________________________________________
NOTAS:
1 - Quando temos xy, x²y, etc., notemos que entre as incógnitas não há nenhum sinal; quando isso acontecer, está subentendida uma multiplicação, isto é, poderíamos colocar um . (ponto multiplicativo), que antes do estudo de incógnitas era representada por um x (vezes). Assim, xy=x.y;


2 - Na expressão x³y+x²+x²y³+xy², temos uma potência de x, multiplicada por y, que é o termo x³y, depois esse termo é somado a uma potência de x, que é o termo x², depois os dois termos anteriores são somados aos termos x²y³ e xy². Assim, incógnita(s) onde há as operações de multiplicação (e sua operação inversa, a divisão) e de potenciação (e sua operação inversa, a radiciação) formam um único termo, separado pelos demais por um sinal de + ou de - . Então, na expressão temos quatro termos, separados pelo sinal de adição (+). Percebendo isso, fizemos a solução 1, separando os quatro termos, achando seus valores, e depois somando os quatro termos, para achar o valor final.


3 - Na expressão, há as operações de potenciação, multiplicação e adição. Na expressão com as incógnitas, devemos primeiro substituí-las pelos seus valores numéricos, depois resolver as operações na seguinte ordem: potenciação (ou radiciação, se houver), multiplicação (ou divisão, se houver) e por último as somas (ou subtração, se houver):
^{x3y + x2 + x2y3 + xy2         à Substituindo os valores de x e y (questão 1), temos:
33.2 + 32 + 32.23 + 3.22    à Resolvendo as potências, temos:
27.2 + 9 + 9.8 + 3.4            à Resolvendo os produtos (multiplicações), temos:
54 + 9 + 72 + 12                 à Resolvendo as somas (adições), temos:
= 147}

ARTIGO SOBRE NOÇÕES DE LIMITES: PARA ALUNOS DO 9º ANO (FUNDAMENTAL) EM DIANTE

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