POTENCIAÇÃO

Seja:

a^{n (expoente)}  (base)

O expoente da potenciação nos diz quantas vezes a base será multiplicada, isto é:
Ex. 1) 3² = 3 . 3 = 9
^{Traduzindo: base 3 elevado ao expoente 2 obtemos a potência 9.
 
Ex. 2) (-2)3} = (-2) . (-2) . (-2) = -8
<sup>Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8.


QUESTÕES RESOLVIDAS


1) Sejam x=3 e y=2. Calcule o valor da expressão x3y + x2 + x2y3 + xy2.</sup>
2) Para a expressão acima, calcule quando x=2 e y=3.


Solução 1 - substituição direta:


<sup>1) Lembrando que x vale 3 e y vale 2, temos:
x3y à 33.2 = 27.2 = 54
x2 à 32 =  9
x2y3 à 32.23 = 9.8 = 72
xy2 à 3.22 = 3.4 = 12
Resultado: 54 + 9 + 72 + 12 = 147


2) Lembrando que x vale 2 e y vale 3, temos:
x3y à 23.3 = 8.3 = 24
x2 à 22 =  4
x2y3 à 22.33 = 4.27 = 108
xy2 à 2.32 = 2.9 = 18
Resultado: 24 + 4 + 108 + 18 = 154</sup>


Solução 2 - Fatoração e Produtos notáveis (para 8º ano em diante):
1 - Dividamos em duas partes: a) x³y + x² = x.x².y + x² = x².(xy+1)         [colocando o termo x² em evidência]
b) x²y³ + xy² = x.x.y².y +  x.y² = x.y².(xy+1)                  [colocando o termo x.y² em evidência]
2 - Temos, então: x³y + x² + x²y³ + xy^{2 =} x².(xy+1) + x.y².(xy+1) = (xy+1).(x²+x.y²)     [colocando o termo x.y² em evidência]
3 - Do termo x²+x.y² ainda se pode colocar x em evidência: x²+x.y² = x.(x+y²)
4 - Então, finalmente, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x².(xy+1) + x.y².(xy+1) = (xy+1).(x²+x.y²) = x.(x+y²).(xy+1)
Na questão 1, x=3 e y=2, então, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x.(x+y²).(xy+1) = 3.(3+2²).(3.2+1)=3.(3+4).(6+1) = 3.7.7 = 147
Na questão 2, x=2 e y=3, então, temos: x³y + x² + x²y³ + xy² = x.(x+y²).(xy+1) = 2.(2+3²).(2.3+1)=2.(2+9).(6+1) = 2.11.7 = 154


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NOTAS:
1 - Quando temos xy, x²y, etc., notemos que entre as incógnitas não há nenhum sinal; quando isso acontecer, está subentendida uma multiplicação, isto é, poderíamos colocar um . (ponto multiplicativo), que antes do estudo de incógnitas era representada por um x (vezes). Assim, xy=x.y;


2 - Na expressão x³y+x²+x²y³+xy², temos uma potência de x, multiplicada por y, que é o termo x³y, depois esse termo é somado a uma potência de x, que é o termo x², depois os dois termos anteriores são somados aos termos x²y³ e xy². Assim, incógnita(s) onde há as operações de multiplicação (e sua operação inversa, a divisão) e de potenciação (e sua operação inversa, a radiciação) formam um único termo, separado pelos demais por um sinal de + ou de - . Então, na expressão temos quatro termos, separados pelo sinal de adição (+). Percebendo isso, fizemos a solução 1, separando os quatro termos, achando seus valores, e depois somando os quatro termos, para achar o valor final.


3 - Na expressão, há as operações de potenciação, multiplicação e adição. Na expressão com as incógnitas, devemos primeiro substituí-las pelos seus valores numéricos, depois resolver as operações na seguinte ordem: potenciação (ou radiciação, se houver), multiplicação (ou divisão, se houver) e por último as somas (ou subtração, se houver):
^{x3y + x2 + x2y3 + xy2         à Substituindo os valores de x e y (questão 1), temos:
33.2 + 32 + 32.23 + 3.22    à Resolvendo as potências, temos:
27.2 + 9 + 9.8 + 3.4            à Resolvendo os produtos (multiplicações), temos:
54 + 9 + 72 + 12                 à Resolvendo as somas (adições), temos:
= 147}