Função Polinomial ou Polinômio

Polinômio ou função polinomial na variável real x é toda função P: IR→IR (isto é, um x real, através da função polinomial P(x), resulta num P(x) também real), definida por: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +  a_n-2x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x+a₀, para todo x real, sendo nЄIN e a_i números reais, que são os coeficientes do polinômio P(x).

O grau de um polinômio é o valor do maior expoente da variável x.

Ex.:     P(x) = 5x⁴ + 3x³ + 3 possui grau 4 (maior expoente de x).

P(t) = 3t¹⁰ – 3 possui grau 10 (nesse caso, a variável independente é t, e seu maior expoente é 10).

A raiz de um polinômio é todo valor da variável independente (que na maioria das vezes é x) que anule o polinômio.

Ex.: o polinômio P(x) = 3x¹⁰ – 3 possui como raiz o número 1, porque quando x for igual a 1, o polinômio valerá 0, isto é: P(1) = 3.1¹⁰ – 3 = 3-3=0; então, 1 é raiz.

QUESTÃO DA PROVA PARA PROFESSOR DE MATEMÁTICA DO IFAL – 2010

5) Sendo r, s e t as raízes da equação 2x³-4x²+3x+1=0, calcule 1/r² + 1/s² + 1/t².

a) 17

b) 23

c) 13

d) 21

e) 19

SOLUÇÃO:

Numa equação polinomial do tipo ax³+bx²+cx+d=0, sejam r, s e t as suas raízes; as relações de Girard diz que:

r + s + t = -b/a = -(-4)/2 =2

rs + rt + st = c/a = 3/2

rst = -d/a = -1/2

Fazendo (rs + rt + st)², temos:

(rs + rt + st)² = (3/2)² = 9/4 → s²t² + r²t² + r²s² + 2r²st + 2rs²t + 2rst² = 9/4

→ s²t² + r²t² + r²s² + 2rst.(r+s+t) = 9/4 ;  como rst = -1/2 e r+s+t = 2, temos:

→ s²t² + r²t² + r²s² + 2.(-1/2).(2) = 9/4

→ s²t² + r²t² + r²s² – 2 = 9/4 → s²t² + r²t² + r²s² = 17/4

Então:

1/r² + 1/s² + 1/t² = (s²t² + r²t² + r²s²)/r²s²t² = (17/4) / (-1/2)² = (17/4) / (1/4) = 17.

Letra A.

Fonte: autor